Question

求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上的高的2倍                                        

Answer 1

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P，Q，R分别是AB，BC，CA上的点，CD⊥AB于D，
求证：PQ+QR+RP≥2CD．
证明：作△ABC关于BC的轴对称图形△EBC，P，Q，R的对称点分别是S，Q，V．
CD的对称线段是CK．
再作△EBC关于CE的轴对称图形△EHC，S，Q，V的对称点分别是T，U，V，
CK的对称线段是CG．
于是QR=QV，PR=SV=TV，CD=CK=CG，CG⊥EH．
连接AH，显然四边形ABEH是平行四边形，
AB∥EH，而CD⊥AB，CG⊥EH，所以D，C，G在一条直线上
所以PQ+QR+RP=PQ+QV+VT≥DG=2CD．
分析：可通过辅助线作出关于坐标轴的对称图形，如图所示，进而得出四边形ABEH是平行四边形，再由三角形的三边关系可得出结论．
点评：本题主要考查平行四边形的性质及坐标与图形的变化问题，能够通过作辅助线解决一些简单的问题．