Question

给定整数n≥3，实数a₁，a₂，…，a_n满足min_{1≤i＜j≤n}|a_i-a_j|=1．求

n

k=1

|ak|3的最小值．

Answer 1

分析：根据绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|，将

n

k=1

|ak|3转化，得到|a_k|+|a_n-k+1|≥|a_n-k+1-a_k|≥|n+1-2k|，在分n为奇数和n为偶数两种情况讨论．

解答：解：不妨设a₁＜a₂＜…＜a_n，则对1≤k≤n，有|a_k|+|a_n-k+1|≥|a_n-k+1-a_k|≥|n+1-2k|，
所以

n

k=1

|ak|3=

1

2

n

k=1

(|ak|3+|an+1-k|3)=

1

2

n

k=1

(|ak|+|an+1-k|)(

3

4

(|ak|-|an+1-k|)2+

1

4

(|ak|+|an+1-k|)2)≥

1

8

n

k=1

(|ak|+|an+1-k|)3≥

1

8

n

k=1

|n+1-2k|3．
当n为奇数时，

n

k=1

|n+1-2k|3=2•23•

n-1 2

i=1

i3=

1

4

(n2-1)2．
当n为偶数时，

n

k=1

|n+1-2k|3=2

n 2

i=1

(2i-1)3=2(

n

j=1

j3-

n 2

i=1

(2i)3)=

1

4

n2(n2-2)．
所以，当n为奇数时，

n

k=1

|ak|3≥

1

32

(n2-1)2，当n为偶数时，

n

k=1

|ak|3≥

1

32

n2(n2-2)，等号均在ai=i-

n+1

2

，i=1，2，n时成立．
因此，

n

k=1

|ak|3的最小值为

1

32

(n2-1)2（n为奇数），或者

1

32

n2(n2-2)（n为偶数）．

点评：此题的实质是利用不等式求最值，是求最值的常用的方法之一．解题的关键是将原式转化为|a_k|+|a_n-k+1|≥|a_n-k+1-a_k|≥|n+1-2k|．