Question

如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变，（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β。

Answer 1

解：（1）延长DF分别交AB、BE于点P、G， 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF =90°， ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD≌△EAB， ∴∠FDA=∠EBA，DF=BE  ∵∠DPA=∠BPG， ∠ADP+∠DPA=90° ∴∠EBP+∠BPG=90° ∴∠DGB=90° ∴DF⊥BE；
（2）数量关系改变，位置关系不变， DF=kBE，DF⊥BE， 延长DF交EB于点H， ∵AD=kAB，AF=kAE ∴=k，=k ∴ ∵∠BAD=∠EAF=α ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB ∴ ∴DF=kBE ∵△FAD∽△EAB， ∴∠AFD=∠AEB， ∵∠AFD+∠AFH=180°， ∴∠AEH+∠AFH=180°， ∵∠EAF=90°， ∴∠EHF=180°-90°=90°， ∴DF⊥BE；
（3）不改变，DF=kBE，β=180°-a， 延长DF交EB的延长线于点H ∵AD=kAB，AF=kAE ∴=k，=k ∴ ∵∠BAD=∠EAF=α ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB ∴=k ∴DF=kBE 由△FAD∽△EAB 得∠AFD=∠AEB ∵∠AFD+∠AFH=180° ∴∠AEB+∠AFH=180° ∵四边形AEHF的内角和为360°， ∴∠EAF+∠EHF=180° ∵∠EAF=α，∠EHF=β ∴a+β=180° ∴β=180°-a。