Question

如圆，AB是⊙O的直径，直线PQ过⊙O上的点C，PQ是⊙O的切线．
（1）求证：∠BCP=∠A；
（2）如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立吗？试说明．

Answer 1

（1）证明：连接OC
PQ是⊙O的切线
∴OC⊥PQ
∴∠OCB+∠BCP=90°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠A=90°
∴∠BCD=∠A

（2）解：如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立
理由为：过C点作直径CD，连接BD，则∠A=∠D，∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°
∵PQ是⊙O的切线
∴OC⊥PQ
∴∠DCB+∠BCP=90°
∴∠BCP=∠D
∴∠BCP=∠A
分析：（1）连接OC，满足切线的性质定理．再根据直径所对的边是直角就可以证出结论．
（2）这个结论还成立；过C点作直径CD，连接BD，则∠A=∠D，再由PQ是⊙O的切线∠DCB+∠BCP=90°，∠BCP=∠A．
点评：本题主要考查了圆的切线的性质定理，以及圆的直径所对的圆周角是直角．