Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM、DM，

           

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系。

Answer 1

解：（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
（2）在（1）中得到的结论仍然成立，即BM=DM，∠BMD=2∠BCD。
   证法一：∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
   　　　　∴ BM=EC=MC，
                 又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
 　　　　 ∴ DM=EC=MC，
                ∴ BM=DM，
　　　　  ∵ BM=MC， DM=MC，
  　　　　∴ ∠CBM =∠BCM， ∠DCM=∠CDM，
                ∴ ∠BMD=∠EMB∠EMD=2∠BCM2∠DCM 　　　　　　
     　                       =2(∠BCM∠DCM)= 2∠BCD，　　　
　　         即 ∠BMD=2∠BCD。
   证法二：∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，　　
      　　　∴ BM=EC=ME，
　　　　  又 点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
                ∴ DM=EC=MC，　　
     　　　∴ BM=DM，
                ∵ BM=ME， DM=MC，　
      　　   ∴ ∠BEC=∠EBM， ∠MCD=∠MDC，
   　　　  ∴ ∠BEM+∠MCD=∠BAC =90°-∠BCD，
               ∴ ∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME）
                               =180°-2（∠BEM+∠MCD）
                               =180°-2（90°-∠BCD）
                               =2∠BCD，
　　　　 即∠BMD=2∠BCD。
（3）所画图形如图所示：
   
    图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；　　　　　　　
    图2中∠BCD不存在，有BM=DM；　　　
    图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD。