Question

如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．

Answer 1

解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，
∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，
即边心距OD=OB=R，
由勾股定理得：BD==R，
即三角形边长为BC=2BD=R，AD=AO+OD=R+R=R，
则△ABC的周长是3BC=3×R=3R；
则△ABC的面积是BC×AD=×R×R=R²．
分析：连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．