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如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
          ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90^。
          ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD
           ∴∠BAE=∠DAG
          ∴△ BAE≌△DAG ；
（2）∠FCN=45^。理由是：作FH⊥MN于H
∵∠AEF=∠ABE=90^。 ∴∠BAE +∠AEB=90^。，∠FEH+∠AEB=90^。∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90^。∴△EFH≌△ABE
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH
∵∠FHC=90^。，∴∠FCH=45^。；
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90^。结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG
又∵G在射线CD上 ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90^。∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=

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如图（1），已知，矩形ABCD的边AD=3，对角线长为5，将矩形ABCD置于直角坐标系内，点C与原点O重合，且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限．
①求图（1）中，点A的坐标是多少？
②若矩形ABCD从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．
③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点，如图（3），设移动总时间为t（1＜t＜5），分别写出△PBC的面积S₁、△QDC的面积S₂与t的函数关系式，并求当t为何值时，S₂=

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①当t=

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．