Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线．
求证：（1）△ABC∽△BCD；
（2）BC²=AC•CD．

Answer 1

证明：（1）解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC；

（2）由（1）知，△ABC∽△BDC．则=，即BC²=AC•CD．
分析：（1）根据已知条件得到AD=BD=BC，则易证△ABC∽△BDC；
（2）通过（1）中的相似三角形的对应边成比例来证明．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定，黄金分割等知识点的综合运用．