Question

如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E，F，G三点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接GD；
∵CD是直径，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四边形DGFE是圆的内接四边形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；

（2）解：连接CE，则CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2；
由勾股定理，得：AB==10；
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC²÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE²=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4．
分析：（1）连接DG，首先证DG∥BC，得∠B=∠GDA，再根据圆内接四边形的性质得出∠ADG=∠EFG，经等量代换后可得出∠EFG=∠B；
（2）由勾股定理，易求得AB的长；连接CE，Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理可求出AE的长，也就求得了DE、BE的长，再根据射影定理可求出CE的值；进而可在Rt△CED中，用勾股定理求出CD的长．
点评：此题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、射影定理等知识的综合应用．