Question

如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
（1）求证：四边形OCPE是矩形；
（2）求证：HK=HG；
（3）若EF=2，FO=1，求KE的长．

Answer 1

解：(1)∵AC=BC，AB不是直径， ∴OD⊥AB，∠PCO=90°
∵PE∥OD，
∴∠P=90°，
∵PE是切线，
∴∠PEO=90°，
∴四边形OCPE是矩形.
(2)∵OG=OD，∴∠OGD=∠ODG.
∵PE∥OD，∴∠K=∠ODG.
∵∠OGD=∠HGK，
∴∠K=∠HGK，
∴HK=HG.
(3)∵EF=2，OF=1,∴EO=DO=3.
∵PE∥OD，
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG.
∴△OFD∽△EFK，
∴EF∶OF=KE∶OD=2∶1，
∴KE=6