Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过3秒钟，AP=______厘米，BP=______厘米，BQ=______厘米，△PBQ的面积等于______厘米².
（2）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过x秒钟，△PBQ的面积等于8厘米²，求此时x的值．
（3）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过8秒钟，△PCQ的面积等于多少厘米²？

Answer 1

解：（1）根据题意得：AP=3×1=3厘米；BQ=3×2=6厘米；∴BP=AB-AP=6-3=3厘米．
∴S_△PBQ=BP•BQ=×3×6=9厘米²．

（2）∵经过x秒钟，△PBQ的面积为8cm²，
∴BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

（3）如图，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC==10cm．
根据题意知，经过8秒钟后，BP=2cm，CQ=8cm，∴PC=6cm．

过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，所以QD∥AB，即，
即，解得 QD=4.8，
S_△PCQ=×6×4.8=14.4．
∴△PCQ的面积为14.4厘米²．
分析：（1）根据点P、Q的移动速度，可直接计算经过3秒钟，AP、BQ的长度，结合图形可求得BP的长，再根据三角形的面积公式可求△PBQ的面积；
（2）根据经过x秒钟，△PBQ的面积为8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6-x）×2x=8，求解即可；
（3）结合题意先画出图形，根据勾股定理求出AC的长，再过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，所以QD∥AB，即，从而求得QD的长，运用三角形的面积公式即可求△PCQ的面积．
点评：本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积的求法．解题的关键是先画图，结合图形求解．