Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠E=∠AFE，求证EF⊥BC．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：作BC边上的高AD，D为垂足(如图1(1)所示)． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD(三线合一性质)． 又∵∠BAC为△AEF的一个外角， ∴∠BAC=∠E＋∠AFE． ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAD＋∠DAC=∠E＋∠AFE， ∴∠CAD=∠E， ∴AD∥EF． ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC． 证法2：过A作AG⊥EF于G(如图(2)所示)， 在△AEG和△AFG中， ∵∠E=∠AFE，∠AGE=∠AGF=90°，AG=AG， ∴△AEG≌△AFG(AAS)， ∴∠GAE=∠GAF(全等三角形的对应角相等)． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角)． 又∠EAF=∠B＋∠C， ∴∠GAE＋∠GAF=∠B＋∠C． ∴∠GAE=∠C， ∴AG∥BC． ∵AG⊥EF， ∴EF⊥BC．