Question

已知：正六边形ABCDEF中，顶角∠A、∠C、∠E与∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F．
求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．

Answer 1

证明：
以BF为轴将△ABF翻折，以BD为轴将△BCD翻折，以DF为轴将△DEF翻折．
因为∠A+∠C+∠E=∠ABC+∠CDE+∠AFE=360°，且AB=BC=CD=DE=EF=FA，

所以翻折后A、C、E落于同一个点O，
所以OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB，
所以四边形ABOF、BCDO、DEFO均为菱形，
所以OB∥CD，DE∥OF，
所以∠BOD+∠ODC=180°，∠FOD+∠ODE=180°，
所以∠CDE=360°-∠BOD-∠FOD=∠BOF=∠BAF．
同理可证，∠ABC=∠E，∠C=∠AFE．
分析：将图形拆分为△ABF、△BCD、△DEF，翻折后交于点O，由于OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB，所以四边形ABOF、BCDO、DEFO均为菱形，根据菱形的性质即可证出结论．
点评：此题构思巧妙，联想到翻折变换构造出菱形，利用菱形的性质是解题的关键．此题不仅要熟悉多边形的性质还要熟悉菱形的性质．