Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，若AD=2，AC=，求点B的坐标．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥CD；

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD=2，AC=，
∴AB=，
∴OB=，
∴B点坐标是（，0）．
分析：（1）连接OC，由于CD是切线，那么∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，而OA=OC，于是∠OAC=∠ACO，再结合AC是∠DAB平分线，易知∠DAC=∠OAC，从而有∠DAC=∠ACO，于是∠DCA+∠DAC=90°，即可证AD⊥CD；
（2）连接BC，由（1）知∠DAC=∠BAC，而∠ADC=∠ACB=90°，易证△ADC∽△ACB，利用比例线段，易求AB，进而可求OB，即可求出点B的坐标．
点评：本题考查了切线的性质、等边对等角、角平分线定义、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OC、BC，构造等腰三角形、直角三角形，并证明∠DAC=∠ACO．