Question

如下图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．)

Answer 1

答案：
解析：

作法：设靠近A地的河岸为直线a，靠近B地的河岸为直线b． 　　(1)作BC⊥a于点C，交b于点D； 　　(2)作AE⊥a，在AE上截取AF＝CD； 　　(3)连结BF，交b于N； 　　(4)作NM⊥a于M； 　　(5)连结AM．路径AMNB为最短路线． 　　证明：∵AF＝CD＝MN，AF∥MN． 　　∴四边形AMNF是平行四边形， 　　∴AMNF， 　　∴AM＋BN＝NF＋BN， 　　∵B、N、F三点共线， 　　∴NF＋BN＝BF． 　　由线段最短公理知，线段BF(即AM＋BN)为最短． 　　∴桥建在如上图所示的MN处，使路径AMNB最短． 　　分析：因河的两岸是平行的直线，桥与河岸垂直，无论桥建在何处，MN总为定长．要使路径AMNB最短，只需AM＋BN最短．设法通过变换使AM、BN构成一条线段．采取构造以河宽为两边的平行四边形的方法，达到把线段平移的目的．