Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF为矩形；
（2）BD²=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵BD为⊙O直径，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，
∴四边形BEDF为矩形；
（2）解：直线CD与⊙O的位置关系式相切，
理由是：∵BD²=BE•BC，
∴=，
∵∠DBC=∠CBD，
∴△BED∽△BDC，
∴∠BDC=∠BED=90°，
即BD⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
分析：（1）求出∠DEB=∠DFB=90°，根据平行四边形的性质推出AD∥BC，推出∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据已知求出△BED∽△BDC，推出∠BDC=∠BED=90°，根据切线判定推出即可．
点评：本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，相似三角形的性质和判定，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．