Question

如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，
（1）直接写出四个结论：
①______；
②______；
③______；
④______；
（2）请你从所得到的关系中任选一个加以说明．

Answer 1

解：（1）①∠APC=∠PAB+∠PCD，
过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；

②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，
∴∠PAB+∠APC+∠PCD=360°；

③∠PAB=∠APC+∠PCD．
延长BA，交PC于点E，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∴∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；

④∠PCD=∠PAB+∠APC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∴∠PCD=∠1=∠APC+∠PCD；
故答案为：①∠APC=∠PAB+∠PCD，②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，③∠PAB=∠APC+∠PCD，④∠PCD=∠PAB+∠APC；

（2）选择①．
证明：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD．
分析：（1）①过点P作PE∥AB，利用平行线的性质，易得∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；
②过点P作PE∥AB，利用平行线的性质，易得∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；
③延长BA交PC于点E，利用平行线与三角形外角的性质，可求得答案；
④利用平行线与三角形外角的性质，可求得答案．
（2）根据（1）中的结论，求解即可．
点评：此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．