Question

若x⁴－5x³＋ax²＋bx＋c能被(x－1)²整除，试求(a＋b＋c)²的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：因为x4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除 　　所以x4－5x3＋ax2＋bx＋c＝A·(x－1)2．(A为商式) 　　当x＝1时，上等式变为 　　14－5×13＋a＋b＋c＝0 　　所以a＋b＋c＝4 　　所以(a＋b＋c)2＝16 　　分析：要出现化数式a＋b＋c，是须取x＝1，从而将问题转化代数式的恒等变形． 　　点拨：本题把多项式的除法与代数式求值结合在一起．x4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除，即(x－1)2是x4－5x3＋ax2＋bx＋c的一个因式，当x＝1时，x－1＝0，(x－1)2＝0，此时多项式x4－5x3＋ax2＋bx＋c的值为0，从而有1－5＋a＋b＋c＝0，a＋b＋c＝4，这一规律即为多项式的一个性质：若一个多项式能被(x－a)整除，则x－a是这个多项式的一个因式，当x＝a时，多项式的值为0．