Question

已知：AE是△ABC的外接圆的直径，AD是△ABC的高
（1）求证：AC•AB=AE•AD；
（2）若AD=6，BD=8，CD=3，求直径AE．

Answer 1

（1）证明：连接BE．
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴=，
∴AC•AB=AE•AD．

（2）解：∵AD=6，BD=8，CD=3，
∴AB=10，AC=3．
∴10×3=6×AE，
∴AE=5．
分析：（1）即证AC：AE=AD：AB，证明它们所在的三角形相似．连接BE，则∠ABE=90°=∠ADC，∠E=∠D（同弧所对的圆周角相等）．所以△ABE∽△ADC．问题得证；
（2）根据勾股定理可求AB、AC的长，运用（1）的结论求解．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质．证明线段的乘积相等，通常转换为比例式，证明线段所在的三角形相似．