Question

（2013•桂林模拟）如图所示，AB为⊙O的直径且PA⊥AB，BC是⊙O的一条弦，直线PC交直线AB于点D，

DC

DP

=

DB

DO

=

2

3

．
（1）请判断△CDB和△PDO是否相似，并说明理由．
（2）求证：直线PC是⊙O的切线．
（3）求cos∠CBA的值．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定推出即可；
（2）连接OC，求出∠COP=∠AOP，证△COP≌△AOP，推出∠OCP=∠OAP=90°，根据切线的判定推出即可；
（3）求出∠CBA=∠POA，设PC=a，则CD=2a，求出AD=2

2

a，DB=BA=

2

a，OA=

2

2

a，OP=

6

2

a，通过解直角三角形求出即可．

解答：（1）解：△CDB和△PDO相似，
理由是：∵

DC

DP

=

DB

DO

，∠D=∠D，
∴△DCB∽△DPO；

（2）证明：连接OC，
∵△DCB∽△DPO，
∴∠DCB=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠CBO=∠POA，∠BCO=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠BCO，
∴∠COP=∠AOP，
在△COP和△AOP中

OC=OA ∠COP=∠AOP OP=OP

∴△COP≌△AOP（SAS），
∴∠OCP=∠OAP，
∵PA⊥AB，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∵OC为半径，
∴直线PC是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥OP，
∴∠CBA=∠POA，
设PC=a，则CD=2a，
∵PA=PC=a，
AD=2

2

a，
∵BC∥OP，
∴

DB

BO

=2，
∴DB=BA=

2

a，
∴OA=

2

2

a，
∴OP=

6

2

a，
∴cos∠CBA=cos∠POA=

3

3

．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．