Question

如图1，正方形AEFG的顶点E、G分别在正方形ABCD的AB、AD边上，已知AB=4cm，AG=2cm，把正方形AEFG饶点A顺时针旋转一个角度（如图2），使得G、F、B在同一直线上
（1）求旋转的最小度数，
（2）记EF与AB的交点为H，求AH的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABG中，
∵sin∠ABG===，
∴∠ABG=30°，
∴∠BAE=∠ABG=30°，
而∠BAE等于旋转角，
故旋转的最小度数30°；
（2）在Rt△AEH中，
∵∠EAH=30°，AE=2cm，
∴cos∠EAH===，
∴AH=．
分析：（1）由于G、F、B在同一直线上，则△ABG为直角三角形，然后利用正弦的定义可求出∠ABG=30°，利用平行线的性质得到∠BAE=∠ABG=30°，再根据旋转的性质得到旋转的最小度数30°；
（2）在Rt△AEH中，由于∠EAH=30°，AE=2cm，利用余弦的定义可计算出AH的长．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质以及解直角三角形．