Question

已知，AC和BD为⊙O的两条弦，并且AB²+CD²=4R²，其中R为⊙O的半径．求证：AC⊥BD．

Answer 1

【答案】分析：作直径AE，连BE，CE，得到∠ABE=90°，根据勾股定理得AB²+BE²=AE²=4R²，而AB²+CD²=4R²，得到BE=CD，弧BE=弧CD，得到
BD∥EC，而∠ECA=90°，即可得到结论．
解答：证明：作直径AE，连BE，CE，如图，
∴∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²=4R²，
又∵AB²+CD²=4R²，
∴BE=CD，
∴弧BE=弧CD，
∴BD∥EC，
而∠ECA=90°，
∴AC⊥BD．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．