Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点P，以P为顶点作45°的角，角的两边分别交坐标轴于A，B，C，D．连结AB，CD．
（1）求OP的长；
（2）若点C（-6，0），求D点的坐标；
（3）△OAB的周长是否变化？若不变化，试求出△OAB的周长；若变化，请说明理由；
（4）当OP⊥AB时：①求证：OP⊥CD；②求△OAB的面积．

Answer 1

解：（1）作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图，
解方程组得或（x＞0，舍去），
∴P点坐标为（4，4），
∴OP==4；

（2）设直线PC的解析式为y=kx+b，
把C（-6，0）和P（4，4）代入得，解得，
∴直线PC的解析式为y=x+，
∴A点坐标为（0，），
∴AF=OF-OA=，
把△PAF绕点P逆时针旋转90°得到△PGE，
∴∠PEG=∠PFA=90°，EG=FA，∠APG=90°，PA=PG，
而∠PEO=90°，
∴点O、E、G点共线，
∴BG=BE+EG=BE+AF，
∵∠APB=90°，
∴∠BPG=90°，
在△PBA和△PBE中
，
∴△PBA≌△PBE（SAS），
∴AB=BG=AF+BE，
设OB=t，则BE=4-t，AB=+4-t=-t，
在Rt△OAB中，∵OA²+OB²=AB²，
∴（）²+t²=（-t）²，解得t=，
∴OB=，
∵OB∥PF，
∴△DOB∽△DFP，
∴=，即=，解得OD=，
∴D点坐标为（0，-）；

（3）△OAB的周长不变化，其周长为8．
由（2）得到AB=BG=AF+BE，
∴△OAB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=4+4=8；

（4）①证明：OP⊥AB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，
∴OH垂直平分AB，
∴OA=OB，PA=PB，
∴OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO，
∵∠POC=∠POA+∠AOC=135°，
∠POD=∠POB+∠BOD=135°，
∴∠POC=∠POD，
在△POC和△POB中
，
∴△POC≌△POB（ASA），
∴OC=OD，
∵PO平分∠COD，
∴PO⊥CD；
②解：∵∠APO=∠BPO，∠APB=45°，
∴∠APO=∠BPO=22.5°，
而∠OPE=45°，
∴∠HPB=∠BPE=22.5°，
在△BHP和△BEP中
，
∴△BHP≌△BEP（AAS），
∴PH=PE=4，
∵OP=4，
∴OH=4-4=4（-1）
∴AB=2OH=8（-1），
∴△OAB的面积=×4（-1）×8（-1）=48-32．
分析：（1）先解有两个解析式组成的方程组确定P点坐标为（4，4），然后用勾股定理计算OP=4；
（2）先利用待定系数法确定直线PC的解析式为y=x+，得到A点坐标为（0，），则AF=OF-OA=；再把△PAF绕点P逆时针旋转90°得到△PGE，
然后利用三角形全等证明AB=BG=AF+BE，设OB=t，则BE=4-t，AB=+4-t=-t，在Rt△OAB中利用勾股定理可计算得到OB=；接着证明△DOB∽△DFP，
利用相似比可求得OD=，于是得到D点坐标为（0，-）；
（3）由（2）得到AB=BG=AF+BE，再根据三角形周长定义得到△OAB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=8；
（4）①OP⊥AB于H，由OP平分∠AOB得到OH垂直平分AB，则OA=OB，PA=PB，根据等腰三角形性质得OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO，易∠POC=∠POD=135°，根据“ASA”可判断△POC≌△POB，则OC=OD，由于PO平分∠COD，根据等腰三角形三线合一即可得到PO⊥CD；
②由∠APO=∠BPO，∠APB=45°得到∠APO=∠BPO=22.5°，则∠HPB=∠BPE=22.5°，根据“AAS”可判断△BHP≌△BEP，则PH=PE=4，所以OH=4-4=4（-1），根据等腰直角三角形的性质得到AB=2OH=8（-1），然后根据三角形面积公式进行计算．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质以及正方形和等腰直角三角形的判定与性质；会运用全等三角形的判定与性质证明线段相等；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．