Question

已知：在⊙O中，AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D，
（1）求证：∠AOD=2∠C；
（2）若AD=8，tanC=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD，
∴∠AOD=2∠C；

（2）解：由（1）可知：tanC=tan∠ABD=，
在Rt△ABD中有：tan∠ABD=
即=，
∴BD=6，
∴AB=，
∴半径为5．
分析：（1）连接BD，利用切线的性质定理和圆周角定理以及圆的半径相等即可证明∠AOD=2∠C；
（2）由（1）可知：tanC=tan∠ABD，在Rt△ABD中利用角ABD的正切值可求出BD，再利用勾股定理即可求出AB进而求出圆的半径．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及锐角三角函数和勾股定理的运用，解题的关键是连接BD构造直径所对的圆周角为直角，从而得到直角三角形．