Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP =      ，点Q到AC的距离是      ；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

 

Answer 1

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于点F，如图，

 

 AQ = CP= t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

   ①当DE∥QB时，如图．

 

   ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

    此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得，

即． 解得．

②如图

 

当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，

即． 解得．                                                                                                

（4）或．

【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，．

由，得，解得．

方法二、由，得，进而可得

，得，∴．∴．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图

 

，