Question

如图，在△ABC中，∠B＝，求证：BC²＋AB²＝AC²＋BC·AB．(由平方和可联想到勾股定理，因此需构造直角三角形)

Answer 1

答案：
解析：

证法一：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BDC中，有BC2＝BD2＋CD2． 　　在Rt△ACD中，有AC2＝AD2＋CD2 　　∴BC2＋AB2＝BD2＋CD2＋(AD＋BD)2 　　＝BD2＋CD2＋AD2＋BD2＋2AD·BD 　　＝2BD2＋CD2＋AD2＋2AD·BD 　　＝CD2＋AD2＋2BD(BD＋AD) 　　＝AC2＋2BD·AB 　　∵在Rt△BCD中，∠B＝，∴∠BCD＝，∴BC＝2BD， 　　∴BC2＋AB2＝AC2＋BC·AB． 　　证法二：过A作AD⊥BC于D， 　　在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2， 　　在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2， 　　∴AB2＋BC2＝AD2＋BD2＋(BD＋CD)2 　　＝AD2＋BD2＋BD2＋CD2＋2BD·CD 　　＝AD2＋CD2＋2BD2＋2BD·CD 　　＝AC2＋2BD(BD＋CD) 　　＝AC2＋2BD·BC， 　　∵∠B＝，∴∠BAD＝， 　　∴AB＝2BD， 　　∴BC2＋AB2＝AC2＋AB·BC．