如图.直线y=12x+1与y轴交于A点.过点A的抛物线y=-54x2+bx+c与直线交于另一点B.过点B作BC⊥x轴.垂足为点C(3.0)．(1)求B点坐标以及抛物线的函数解析式．(2)动点P在线段OC上.从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动.过点P作x轴的垂线交直线AB于点M.交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒.求线段MN的长与t的函数关系式.当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线y=

x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=-

x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．

分析：（1）先由y=

x+1，求出与y轴交点A的坐标，再将x=3代入y=

x+1，求出y的值，得到B点坐标，然后将A、B两点坐标代入y=-

x²+bx+c，运用待定系数法即可求得抛物线的函数解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M、N的坐标，再根据MN=NP-MP，即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN=-

t²+

t（0≤t≤3），然后运用配方法可求出当t=

时，MN的长最大，最大值是

；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：-

t²+

，解方程求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

解答：解：（1）∵y=

x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当x=3时，y=

×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5），
将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-

x²+bx+c，
得

c=1

×9+3b+c=2.5

，
解得：

c=1

，
∴抛物线的函数解析式为y=-

x²+

x+1；

（2）∵OP=1•t=t，
∴P（t，0），M（t，

t+1），N（t，-

t²+

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

t²+

t+1）-（

t+1）=-

t²+

t，
即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-

t²+

t（0≤t≤3）；
∵-

t²+

t=-

（t²-3t）=-

（t-

）²+

，
∴当t=

时，MN的长最大，最大值是

；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
此时，有-

t²+

，
解得t₁=1，t₂=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-

×1²+

×1=

，MP=

×1+1=

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

(

)2+22

，
故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-

×2²+

×2=

，MP=

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

22+12

，
故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，二次函数的性质，平行四边形以及菱形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．

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