Question

已知关于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x的二次函数y= mx²-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

Answer 1

（1）分两种情况讨论：

①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0

∵不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根

综合①②，可知m取任何实数，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.

（2）设x₁、x₂为抛物线y= mx²-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.

则有x₁+x₂=，x₁·x₂=

由| x₁－x₂|====，

由| x₁－x₂|=2得=2，∴或，∴m=1或m=

∴所求抛物线的解析式为：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－