Question

19．在△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，沿过其中一个顶点的直线把△ABC剪开，若剪得的两个三角形中仅有一个是等腰三角形，那么这个等腰三角形的面积不可能是（　　）

• A． 14.4
• B． 19.2
• C． 18.75
• D． 17

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AB=10、S_△ABC=24，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积，再对照四个选项即可得出结论．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24．
沿过其中一个顶点的直线把△ABC剪开，若剪得的两个三角形中仅有一个是等腰三角形，有五种情况：
①当AC=AP=6时，如图1所示，
S_等腰△ACP=$\frac{AP}{AB}$S_△ABC=$\frac{6}{10}$×24=14.4；
②当BC=BP=8时，如图2所示，
S_等腰△BCP=$\frac{BP}{AB}$S_△ABC=$\frac{8}{10}$×24=19.2；
③当PA=PB时，如图3所示，
AC²+CP²=PA²，即6²+（8-PB）²=PB²，
解得：PB=$\frac{25}{4}$，
∴S_等腰△PAB=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$=18.75；
④当CA=CP=6时，如图4所示，
S_等腰△CAP=$\frac{1}{2}$CA•CP=$\frac{1}{2}$×6×6=18．
⑤当CA=CP=6时，如图5所示（CE⊥AB于点E），
CE=2$\frac{{S}_{△ABC}}{AB}$=$\frac{24}{5}$，AP=2AE=2$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{36}{5}$．
S_等腰△ACP=$\frac{1}{2}$AP•CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{5}$×$\frac{24}{5}$=17.28．
综上所述：等腰三角形的面积可能为14.4、19.2、18.75、18或17.28．
故选D．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．