Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由。

Answer 1

解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB，
∴BQ=QM，PM=PC，
∴四边形AQMP的周长=AQ=AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；
（2）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，
∴QM，PM是三角形ABC的中位线，
∵AB=AC，
∴QM=PM=AB=AC，
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形。