Question

如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=

 

．

Answer 1

分析：连接BE、CE，由圆周角定理，易知∠AEB=∠ACB，∠ABC=∠AEC，只需求出tan∠AEC•tan∠AEB的值即可．
易证△ADC∽△BDC，△ADB∽△CDE，可得

AC

BE

=

AD

BD

，

AB

EC

=

BD

DE

．两式相乘，即可求得tan∠ABC•tan∠ACB的值．

解答：解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴

AC

BE

=

AD

BD

．   ①
同理可由△ADB∽△CDE，得

AB

EC

=

BD

DE

．  ②
①×②，得

AB•AC

BE•EC

=

AD

DE

=3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=

AC

EC

．
同理得tan∠AEB=

AB

BE

．
故tan∠AEC•tan∠AEB=

AB•AC

BE•EC

=3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．