Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A的坐标为(12，－8)，点B、C在x轴上，tan∠ABC＝，AB＝AC，AH⊥BC于H，D为AC边上一点，BD交AH于点M，且△ADM与△BHM的面积相等．

(1)求点D坐标；

(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；

(3)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将(2)中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为(点在y轴右侧)．是否存在这样的抛物线，使△FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵S△ADM＝S△BHM， 　　∴S△ACH＝S△BCD， 　　∵AB＝AC，AH⊥BC， 　　∴H是BC中点，∴D是AC中点．　1分 　　∵AH＝8，tan∠ABC＝， 　　∴BH＝CH＝6， 　　∵A的坐标为(12，－8)， 　　∴B、C坐标分别为(18，0)、(6，0)．　2分 　　∴D的坐标为(9，－4)．　3分 　　(2)设经过B、C、D三点的抛物线的解析式为 　　y＝a(x－6)(x－18)， 　　∵抛物线过D点， 　　∴－4＝a(9－6)(9－18)， 　　∴a＝．　4分 　　∴抛物线的解析式为y＝(x－6)(x－18)， 　　顶点E的坐标为(12，－)．　6分 　　(3)设直线l的解析式为y＝x＋b， 　　∵直线过点E， 　　∴b＝－， 　　∴G的坐标为(0，－)． 　　∴设平移后的抛物线的解析式为 　　y＝(x－m)2＋m－ 　　∴F的坐标为(0，m2＋m－)， 　　的坐标为(m，m－)，　7分 　　若G＝F， 　　则m2＋m－＋＝2×m， 　　∴m＝0(舍去)，m＝9， 　　此时的坐标为(9，－)．　8分 　　若G＝GF，则m＝m2＋m－＋ 　　∴m＝0(舍去)，m＝， 　　此时的坐标为(，－)．　9分 　　若F＝GF，不在在． 　　综上所述点的坐标为(9，－)或(，－)　10分