Question

已知点D是等边△ABC的边BC上一点，以AD为边向右作等边△ADF，DF、AC交于点N．
（1）如图①，当AD⊥BC时，请说明DF⊥AC的理由；
（2）如图②，当点D在BC上移动时，以AD为边再向左作等边△ADE，DE、AB交于M，试问线段AM和AN有什么数量关系？请说明你的理由；
（3）在（2）的基础上，若等边△ABC的边长为2，直接写出DM+DN的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=

1

2

×60°=30°，
又∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAN=∠FAN=30°，
∴AN⊥DF，


即DF⊥AC；

（2）AM=AN．
理由如下：如图，连接AD，
∵△ADE、△ADF是等边三角形，
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF，
∵∠DAM+∠CAD=60°，
∠FAN+∠CAD=60°，
∴∠DAM=∠FAN，
在△ADM和△AFN中，

∠DAM=∠FAN AD=AF ∠ADE=∠ADF

，
∴△ADM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（3）根据垂线段最短，DM⊥AB、DN⊥AC时，DM、DN最短，
设等边△ABC的高线为h，
则S_△ABC=

1

2

AC?h=

1

2

AB?DM+

1

2

AC?DN，
∵AB=AC，
∴DM+DN=h，
∵等边△ABC的边长为2，
∴h=2×

3

2

=

3

，
∴DM+DN的最小值为

3

．