Question

平面直角坐标系中，已知A（-1，4），B（4，9），点P（n，0）为x轴上一点，若∠APB=45°，则n=________．

Answer 1

1或7
分析：作BC⊥x轴，且BC=10，连接AC，作△ABC的外接圆Q，连接AQ，交x轴于P₁、P₂，求出AQ∥x轴和Q的坐标，求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°，BC为直径，根据等腰直角三角形性质求出∠C=45°，根据圆周角定理求出P₁和P₂都符合已知条件，连接QP₁，QP₂，在Rt△OP₁D中，由勾股定理求出DP₁=3，同理求出DP₂=3，求出OP₁和OP₂即可．
解答：解：作BC⊥x轴，且BC=10，连接AC，作△ABC的外接圆Q，连接AQ，交x轴于P₁、P₂，
∵B（4，9），A（-1，4），BC=10，
则Q的坐标是（4，4），
即AQ∥x轴，
即∠AQC=90°，
在Rt△AQC中，AQ=5，CQ=5，由勾股定理：AC=5，
∵AB²+AC²=（5）²+（5）²=100，BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∴BC是⊙Q的直径，∠C=∠ABC=45°，
由圆周角定理得：∠AP₁B=∠ACB=45°，∠AP₂B=∠ACB=45°，
即此时P₁和P₂都符合已知条件，
连接QP₁，QP₂，
在Rt△OP₁D中，OD=9-5=4，OP₁=5，由勾股定理得：DP₁=3，
同理DP₂=3，
即OP₁=4-3=1，OP₂=4+3=7，
∴n=1或7．
故答案为：1或7．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理，等腰直角三角形性质，坐标与图形性质，三角形的外接圆等知识点，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大．