Question

如图所示，矩形ABCD中，延长CB到E，使CE=CA，F是AE的中点，求证BF⊥FD．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：如图所示，连接CF． ∵CE=CA，F为AE中点， ∴CF⊥AE，∴∠2＋∠3=90°． 在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°． ∴∠ABE=90°． ∵F为AE的中点，∴AF=BF． ∴∠FAB＝∠FBA， ∴∠FAB＋∠BAD=∠FBA＋∠ABC， 即∠FAD=∠FBC． 在△FAD和△FBC中， ∵AF=BF，∠FAD=∠FBC，AD=BC， ∴△FAD≌△FBC， ∴∠3=∠1，∴∠2＋∠1=90°． 即∠DFB=90°，∴BF⊥FD． 证法2：如图所示，延长DA交BF的延长线于BD． 在矩形ABCD中， AD∥BC，AC=BD． ∵F是AE的中点，∴AF=EF． 易证△AFG≌△EFB， ∴GF=BF，AG=BE． 则AD＋AG=BC＋BE，∴DG=CE． ∵CE=AC，∴DG=CE=AC=BD． 即△DGB是等腰三角形． ∵FG=BF，∴BF⊥DF．