Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）。
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）， ∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0， ∴， ∴ 由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形； （2）①如图所示； ∵S△MNP=3S△NOP， ∴MN=3ON即MO=4ON， 又M（a+c，0）， ∴N（，0） ∴a+c，是方程x2-2ax+b2=0的两根， ∴（a+c）+=2a， ∴c=a， 由（1）知：在△ABC中，∠A=90°， 由勾股定理得b=a， ∴cosC==； ②能； 由（1）知， ∴顶点D（a，-c2）， 过D作DE⊥x轴于点E，则NE=EM，DN=DM 要使△MND为等腰直角三角形， 只须ED=MN=EM， ∵M（a+c，0），D（a，-c2）， ∴DE=c2，EM=c， ∴c2=c，又c＞0， ∴c=1， 由于， ∴， 当时，△MNP为等腰直角三角形。