Question

如图1，直线y=-与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F．
（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
（2）如图2，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r．

Answer 1

（1）解：把x=0代入y=-x+3得：y=3，
把y=0代入y=-x+3得：x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
即AO=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵四边形OBCE是矩形，
∴∠CBO=90°，CE=OB=3，
∵AB切⊙C于F，
∴∠CFB=90°=∠CBO，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠FBC+∠ABO=90°，
∴∠FCB=∠AOB，
∵∠CFB=∠AOB=90°，
∴△CFB∽△BOA，
∴=，
∴=，
∴CB=5，
∴C的坐标是（-5，3）．

（2）解：∵⊙C切AB于F，切x轴于E，切y轴于D，
∴BF=BD，AF=AE，∠CDO=∠DOE=∠CEO=90°，DC=CE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴EC=OD
∵⊙C的半径是r，
∴CE=CD=DO=OE=r，
∵A（4，0），AB=5，
∴4+r=5+BF=5+BD=5+3-r，
即4+r=5+3-r
r=2，
答：⊙C的半径是2．
分析：（1）求出A、B的坐标，求出AB长，证△CFB∽△BOA，得出比例式，代入求出CB即可；
（2）根据切线长定理求出AF=AE，BD=BF，根据⊙C的半径是r，推出正方形ODCE，推出OD=OE=r，代入AE=AF=AB+BF=AB+BD，即可求出答案．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，一次函数的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，切线长定理，切线的性质，坐标与图形性质等知识点的运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．