Question

如图，△ABC中，∠C=90°，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r．

Answer 1

解：连接OE，OF，
∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，
∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=8，BE=BD=12，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴EC=FC=r，
∴AC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
∴20²=（12+r）²+（8+r）²，
∴r²+20r-96=0，
即（r-4）（r+24）=0，
解得：r=4或r=-24（舍去）．
∴⊙O的半径r为4．
分析：首先连接OE，OF，易证得四边形OECF是正方形，然后由切线长定理可得AC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20，又由勾股定理可得方程20²=（12+r）²+（8+r）²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．