Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠PCD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）△CDP∽△PAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=，
∴，
∴，
解法1：由△CDP∽△PAE知：，
∴，
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴；

（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，
∴即，
解得x=8，
此时AP=3，AE=4．
分析：（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相应的数据即可求得答案；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x，由△CDP∽△PAE知，解得x=8，此时AP=3，AE=4．
点评：本题考查矩形的性质以及三角形的相似性质，综合性较强．