Question

如图：边长为1的正△A₁B₁C₁的中心为O，将正△A₁B₁C₁绕中心O旋转到△A₂B₂C₂，使得A₂B₂⊥B₁C₁．则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为________．

Answer 1

-
分析：连接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，根据O为等边三角形的中心，得出∠A₂OB₂=∠B₁OC₁=120°，求出∠A₂ON=∠C₁OM，根据ASA证△A₂ON≌△C₁OM，推出ON=OM，推出B₁N=B₂M，设B₁N=B₂M=x，根据∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，求出BN=x，推出CN=x，B₁C=x，BB₁=2B₁C=x，同理CD=BC=x+x=x，C₁D=BB₁=x，依题意列方程B₁C+CD+DC₁=1，求x的值，根据S_{六边形ABCDEF}=S_△A2B2C2-3S_△B2CD求解．
解答：
连接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，
∵O为等边三角形的中心，
∴∠A₂OB₂=∠B₁OC₁，
∴都减去∠B₁OB₂得：∠A₂ON=∠C₁OM，
在△A₂ON和△C₁OM中
∵，
∴△A₂ON≌△C₁OM，
∴ON=OM，
∵OB₂=OB₁，
∴B₁N=B₂M，
设B₁N=B₂M=x，
∵∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，
∴BN=x，
∴CN=x，B₁C=x，BB₁=2B₁C=x，
同理CD=BC=x+x=x，C₁D=BB₁=x
依题意B₁C₁=B₁C+CD+DC₁=1，
x+x+x=1，
x=-1，
∴B₂C=×（-1）=-，CD=×（-1）=-
∴S_{六边形ABCDEF}=S_△A2B2C2-3S_△B2CD
=×1×-3××（-）×（-），
=-
故答案为：-．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．关键是根据条件，得出特殊三角形，全等三角形，利用“割补法”求面积．