Question

已知：如图，点E为?ABCD对角线AC上的一点，点F在BE的延长线上，且EF=BE，EF与CD相交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）如果AB=BE，联结DE、CF，判断四边形DECF的形状并证明．

Answer 1

（1）证明：联结BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO．
∵BE=EF，
∴OE∥DF，即DF∥AC；

（2）解：联接DE、CF，四边形DECF是等腰梯形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AB=BE，EF=BE，
∴EF=CD．
∵四边形ABCD是梯形，
∴四边形DECF是等腰梯形．
分析：（1）联结BD，交AC于点O，先由平行四边形的对角线互相平分得出BO=DO，再根据三角形的中位线平行于第三边即可得出OE∥DF，即DF∥AC；
（2）先由平行四边形的性质得出AB=CD，再结合已知条件得出EF=CD，然后根据对角线相等的梯形是等腰梯形即可判断四边形DECF是等腰梯形．
点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形的判定，三角形的中位线定理，难度中等，作出适当的辅助线是解题的关键．其中（1）还有其余的证明方法．