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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点，
    （1）求直线与抛物线的表达式；
    （2）求证：C点是△AOD的外心；
    （3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α，当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
    （4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由。

    解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
    ∴其表达式可以写成y=ax2+bx，
    ∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，
    把两点的坐标代入y=kx+4，得，解得，
    ∴直线是y=-x+4，两点是B（1，3），C（2，2），
    代入二次函数的表达式，得，解得，
    ∴y=-2x2+5x为抛物线的表达式。
    （2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；令y=0，x=4，
    ∴A（0，4），D（4，0），
    ∴AD=，
    而OC=2，
    ∴OC=AD，
    ∴C是Rt△AOD的外心。
    （3）通过分析知道，P为顶点时，S△OPN面积最大，
    此时，P，
    又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0，x2=，即ON=，
    ∴OP=，
    ∴sinα=，
    此时△PON有最大面积（底是相同的）。
    （4）S△OCN=ON×2×=ON=，
    S△OPN=·ON·PQ（P是PQ⊥NO的垂足）
    ，
    令S△OPN：S△OCN=，
    则，
    得16x2-40x+9=0，
    ∴x1=，x2=，即两点分别是P1，P2，
    即存在P1、P2两点。
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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