Question

已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象信息回答问题：在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点A为正比例与反比例函数图象的交点，将A点坐标代入正比例函数y=ax中，求出a的值，确定出正比例函数的解析式，将A点坐标代入反比例函数y=中，求出k的值，确定出反比例函数的解析式；
（2）由A的横坐标及函数图象可得出反比例函数的值大于该正比例函数的值时，x的范围范围；
（3）过M作MQ垂直于x轴，由M为反比例函数上的点，将M的坐标代入反比例函数解析式中求出mn=6，同时由三个角的为直角的四边形为矩形得到四边形BOCD为矩形，根据矩形的对边相等可得出BO=DC，又BMNO为矩形，得到MN=BO，由M的纵坐标为n，得到MQ=BO=DC=n，横坐标为m，得到BM=m，由A的坐标得出AC及OC的长，四边形OADM的面积=矩形BOCD的面积-三角形BMO的面积-三角形AOC的面积，利用矩形及三角形的面积公式分别表示出各自的面积，将mn=6及四边形OADM的面积为6代入，得出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，进而求出m的值，即可确定出M的坐标，设过M，A的一次函数解析式为y=kx+b，将A和M的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式．
解答：解：（1）把A（3，2）分别代入y=ax，y=中，
得 2=3a，2=，
∴a=，k=6，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=；

（2）由图象及A（3，2）知：在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

（3）过M作MQ⊥x轴于点Q，如图所示：
∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MQ=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四边形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-mn-×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=，
∴M坐标为（，4），又A（3，2），
设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把M和A代入y=kx+b，得 ，
∴，
∴一次函数解析式为y=-x+6．
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型．