Question

所谓配方法其实就是逆用完全平方公式，即a²±2ab+b²=（a+b）²．该方法在数、式、方程等多方面应用非常广泛，如
3+2=1²+2+（）²=（1+）²；x²+2x+5=x²+2x+1+4=（x+1）²+4等等．请你用配方法解决以下问题：
（1）解方程：x²=5+2；（不能出现形如的双重二次根式）
（2）求证：不论m为何值，解关于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根．
（3）若a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，解关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0．

Answer 1

解；（1）x²=5+2，
x²=（）²+2+（）²，
x²=（+）²，
x=±（+），
x₁=+或x₂=--；

（2）∵△=（m-1）²-4（m-3）=m²-2m+1-4m+12=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，
∴不论m为何值，关于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根；

（3）∵a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，
∴a²-2a+1+4b²-8b+4+c²+10c+25=0，
∴（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，
∵（a-1）²≥0，（2b-2）²≥0，（c+5）²≥0，
∴（a-1）²=0，（2b-2）²=0，（c+5）²=0，
∴a=1，b=1，c=-5，
把a=1，b=1，c=-5代入ax²-bx+c=0得：
x²-x-5=0，
解得：x=，
x₁=，x₂=．
分析：（1）先求出x的值，再把所得的结果进行化简即可；
（2）先求出△的值，再把所得的结果进行配方，证出△＞0即可；
（3）先通过配方求出a，b，c的值，然后代入方程，即可求出答案．
点评：此题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法解一元二次方程、根的判别式，关键是对要求的式子进行配方．