Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）。
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②若D为抛物线的顶点，判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）， ∴， ∴， ∴，由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；
（2）解：①如图所示； ∵， ∴MN=3ON即MO=4ON， 又，∴， ∴a+c，是方程的两根， ∴， ∴， 由（1）知：在△ABC中，∠A=90°， 由勾股定理得，∴sinB=， ②能 由（1）知， ∴顶点D， 过D作DE⊥x轴于点则NE=EMDN=DM， 要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM， ∵， ∴， ∴又c>0，∴c=1， 由于c=a，b=，∴a=，b=， ∴当时，△MNP为等腰直角三角形。