Question

（2011•晋江市质检）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°、动点P、Q同时从点A出发，其中点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）直接填空：AP=

4t

cm，AQ=

2

3

t

cm（用含t的代数式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，PM+MN的值最小？
②当t为何值时，△PQM的面积S有最大值，此时最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动，于是在时间t内即可求出两点运动的位移，即可求出AP和AQ的长度．
（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小，根据AQ+QM=AM即可求出t的值，如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，AQ=2

3

t，根据三角形相似证明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面积S的最大值，同理求出当5＜t≤10时，△PQM的面积S的最大值．

解答：解：（1）4t，2

3

t…（2分）

（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小．…（3分）
如图，在Rt△APM中，易知AM=

8 3

3

t，
又∵AQ=2

3

t，QM=20

3

-4

3

t．
由AQ+QM=AM得：2

3

t+20

3

-4

3

t=

8 3 t

3

，
解得t=

30

7

．
∴当t=

30

7

时，PM+MN的值最小．…（7分）
②如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，AQ=2

3

t．
则

AP

AQ

=

4t

2 3 t

=

2 3

3

，
又∵AO=10

3

，AB=20，
∴

AB

AO

=

20

10 3

=

2 3

3

．
∴

AP

AQ

=

AB

AO

．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
S=

1

2

MQ•PQ=

1

2

(20

3

-4

3

t)×2t=4

3

(5t-t2)=-4

3

(t-

5

2

)2+25

3

，
当t=

5

2

时，S有最大值25

3

．…（10分）
②若5＜t≤10时，则CP=40-4t，PQ=20-2t，CQ=20

3

-2

3

t．
则

CP

CQ

=

40-4t

20 3 -2 3 t

=

4(10-t)

2 3 (10-t)

=

2

3

，
又∵CO=10

3

，CB=20，
∴

CB

CO

=

20

10 3

=

2

3

．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥ACS=

1

2

QM•PQ=

1

2

(4

3

t-20

3

)(20-2t)=4

3

(15t-t2-50)=-4

3

(t-

15

2

)2+25

3

，
当t=

15

2

时，S有最大值25

3

．…（13分）
综上，当t=

5

2

或

15

2

时，S的最大值都是25

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数的最值等知识点，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题是一道综合性比较强的习题，难度有点大．