Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标。
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积。
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得x2-1=0，得x=±1                  令x=0，y= -1         ∴A（-1，0）， B（1，0），C（0，-1） （2）∵OA=OB=OC= 1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO= 45°       ∵AP∥CB，∴ ∠PAB= 45°       过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形     令OE=a，则PE=a+1 ∴P（a，a+1）    ∵点P在抛物线y=x2-1上  ∴a+1=a2-1    解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍）    ∴PE=3   ∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE                                                     = （3）假设存在  ∵∠PAB=∠BAC =45°∴PA⊥AC    ∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC = 90°    在Rt△AOC中，OA=OC=1   ∴AC=    在Rt△PAE中，AE=PE=3    ∴AP=    设M点的横坐标为m，则M （m，m2-1）   ①点M在y轴左侧时，则m<-1  (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时，有=    ∵AG= -m-1，MG=m2-1    即  解得m1= -1（舍），m2=（舍）   (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=   即  解得m1= -1（舍），m2= -2  ∴M（-2，3） ② 点M在y轴右侧时，m>1  (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时有=   ∵AG=m+1 ，MG=m2-1   ∴ 解得m1= -1（舍），m2=   ∴M（，）  (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=   即  解得：m1= - 1（舍），m2=4  ∴M（4,15） ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似  M点的坐标为，，