Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是________．

Answer 1

2
分析：两点之间线段最短，所以当点C、P、Q三点共线时，CQ+PQ的最小．如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接BP′，则直线BP′与直线AD的交点即为所求的Q点．
解答：解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接BP′交AD于点Q，则CQ+PQ=CQ+P′Q=CP′．
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ=∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，
∴∠PAQ=∠BAQ，
∴∠P′AQ=∠BAQ，
∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．
∵在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，
∴AB=4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′=AB=2，即CQ+PQ的最小值是2．
故填：2．
点评：本题考查了轴对称--最短路线问题．此题属于易错题，学生们在解题时往往没有先证明点P′在边AB上，而直接利用等腰直角三角形的性质来求CP′线段的长度．