Question

如图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE、CAFG、BCHK．连接EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．

Answer 1

证明：把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F、G重合于I，连接DI，BI，KI，
∴△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，
可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，
因此可拼成一个△DIK，
把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，
可得A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点．
所以S_△BCG′=S_△ABC，因此S_△BIK=S_△ABC，同理S_△DBK=S_△DBI=S_△ABC，
因此由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S_△DIK=3S_△ABC．
分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S_△DIK=3S_△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点．进而由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S_△DIK=3S_△ABC．
点评：本题主要考查对三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．