Question

如图，直线l₁与l₂相交于点P，点P横坐标为-1，l₁的解析表达式为y=x+3，且l₁与y轴交于点A，l₂与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线l₂的解析表达式；
（3）若点M为直线l₂上一动点，直接写出使△MAB的面积是△PAB的面积的的点M的坐标；
（4）当x为何值时，l₁，l₂表示的两个函数的函数值都大于0？

Answer 1

解：（1）当x=0时，x+3=0+3=3，
∴点A的坐标是（0，3），
∵点A与点B恰好关于x轴对称，
∴B点坐标为（0，-3）；

（2）∵点P横坐标为-1，
∴（-1）+3=，
∴点P的坐标是（-1，），
设直线l₂的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线l₂的解析式为y=-x-3；

（3）∵点P横坐标是-1，△MAB的面积是△PAB的面积的，
∴点M的横坐标的长度是，
①当横坐标是-时，y=（-）×（-）-3=-3=-，
②当横坐标是时，y=（-）×-3=--3=-，
∴M点的坐标是（-，-）或（，-）；

（4）l₁：y=x+3，当y=0时，x+3=0，解得x=-6，
l₂：y=-x-3，当y=0时，-x-3=0，
解得x=-，
∴当-6＜x＜-时，l₁、l₂表示的两个函数的函数值都大于0．
分析：（1）先利用l₁的解析表达式求出点A的坐标，再根据A、B关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答；
（2）根据点P的横坐标是-1，求出点P的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可；
（3）根据三角形的面积，底边AB不变，只要点M的横坐标的长度等于点P的横坐标的长度的求出点M的横坐标，然后代入直线l₂的解析式求解即可；
（4）分别求出两直线解析式与x轴的交点坐标，根据x轴上方的部分的函数值大于0解答．
点评：本题综合考查了直线相交问题，待定系数法求直线解析式，三角形的面积，一次函数与不等式的关系，综合性较强，但难度不大，（3）要注意分情况讨论．